Exponentes

En álgebra frecuentemente nos encontramos con la multiplicación de un número por sí misma varias veces; por ejemplo, al calcular el área de un cuadrado cuyo lado es a se presenta la situación mencionada, ya que el área es igual al producto a*a. El volumen de un cubo de lado b es igual a b*b*b. Surge la necesidad de abreviar este tipo de multiplicaciones, lo que da lugar a la siguiente definición.



Si a pertenece a los reales y es diferente de 0, entonces aⁿ = a*a*a...a  a¹=a   a⁰=1

De acuerdo a la definición tenemos que:

a³ = a*a*a             2⁴ = 2*2*2*2  etc.

En la expresión aⁿ identificamos a n como el exponente y la a como la base.
El exponente representa el número de veces que la base se multiplica por sí misma.
En el siguiente cuadro se presentan varias expresiones identificando la base, el exponente y el desarrollo.

Observa la diferencia entre las dos últimas expresiones: en el primer caso la base es 7 y en el otro es -7.

      Los teoremas de los exponentes nos permiten efectuar operaciones con este tipo de expresiones; es común utilizar el término leyes de los exponentes en lugar de teoremas.

• Primera Ley de los exponentes (Producto de una potencia de bases iguales):

si a pertenece a los reales, y es diferente de 0, y n,m existen en los naturales, entonces: aⁿ*a^m = a^n+m

Ejemplo: a² *a³ = a⁵

• Segunda Ley de los exponentes

si a pertenece a los reales, y es diferente de 0, y n,m existen en los naturales, entonces (aⁿ)^m = a^nm

la expresión m factores aⁿ es equivalente a m veces n factores a.

es decir, mn factores a, que se expresa como a^nm.

Ejemplo: (2⁵)² = 2¹⁰

• Tercera Ley de los exponentes:

si a pertenece a los reales, y es diferente de 0, y n,m existen en los naturales, entonces (abⁿ) = aⁿbⁿ

como n factores a es aⁿ y n factores b es bⁿ, entonces  (abⁿ) = aⁿbⁿ

Ejemplo: (2x)³= 2³ x³ = 8x³

• Cuarta Ley de los exponentes:

Ejemplos:
                 2⁸ / 2³ = 2^8-3 = 2⁵ = 32                        (1)
                 3⁷ / 3¹⁰ = 1 / 3^10-7 = 1 / 3³ = 1 / 27     (2)
                 7³ / 7³ = 1                                            (3)